Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， （1）图1中共有______对相似三角形，写出来分别为______（不需

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， （1）图1中共有______对相似三角形，写出来分别为______（不需证明）；（2）已知AB=10，AC=8，请你求出CD的长；（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC ∽ △ACD，△ABC ∽ △CBD，△ABC ∽ △CBD． 故答案为3，△ABC ∽ △ACD，△ABC ∽ △CBD，△ABC ∽ △CBD； （2）如图1，在△ABC中，∵∠ACB=90°，AB=10，AC=8， ∴BC= A B 2 -A C 2 =6． ∵△ABC的面积= 1 2 AB?CD= 1 2 AC?BC， ∴CD= AC?BC AB = 6×8 10 =4.8； （3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下： 在△BOC中，∵∠COB=90°，BC=6，OC=4.8， ∴OB= B C 2 -O C 2 =3.6． 分两种情况： ①当∠BQP=90°时，如图2①，此时△PQB ∽ △ACB， ∴ BP AB = BQ BC ， ∴ 6-t 10 = t 6 ， 解得t=2.25，即BQ=CP=2.25， ∴OQ=OB-BQ=3.6-2.25=1.35，BP=BC-CP=6-2.25=3.75． 在△BPQ中，由勾股定理，得PQ= B P 2 -B Q 2 = 3.7 5 2 -2.2 5 2 =3， ∴点P的坐标为（1.35，3）； ②当∠BPQ=90°时，如图2②，此时△QPB ∽ △ACB， ∴ BP BC = BQ AB ， ∴ 6-t 6 = t 10 ， 解得t=3.75，即BQ=CP=3.75，BP=BC-CP=6-3.75=2.25． 过点P作PE⊥x轴于点E． ∵△QPB ∽ △ACB， ∴ PE CO = BQ AB ，即 PE 4.8 = 3.75 10 ， ∴PE=1.8． 在△BPE中，BE= B P 2 -P E 2 = 2.2 5 2 -1． 8 2 =0.45， ∴OE=OB-BE=3.6-0.45=3.15， ∴点P的坐标为（3.15，1.8）； 综上可得，点P的坐标为（1.35，3）或（3.15，1.8）．