Question

如图：在平面直角坐标系中，A（4，0）、B（-1，0）。C以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的正半轴交

如图：在平面直角坐标系中，A（4，0）、B（-1，0）。C以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的正半轴交于点C。 （1） 求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数解析式；（2） 设M为（1）抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；（3） 试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论。

Answer 1

解：（1）连结PC， ∵A（4，0）、B（-1，0）， ∴AB=5， ∴PC= OP=OA-PA=4- = ，OC=2， ∴C（0，2）， 设经过A、C、B三点的抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-4）， 将C（0，2）代入得2=a（0-4）（0+1）， ∴a=- ， ∴y=- （x+1）（x-4）即y=- x 2 + x+2； （2）由y=- x 2 + x+2=- （x- ） 2 + ， ∴M（ ， ）， 设直线CM的解析式为y=kx+2，将M（ ， ）代入解得k= ，∴y= x+2； （3）结论：直线CM与⊙P相切。 证明：设MC与x轴相交于点N，由y=0解得x=- ， ∴ON= PN= + = ，NC= ， ∴CN 2 +PC 2 =PN 2 即（ ） 2 +（ ） 2 =（ ） 2 ， ∴∠PCN=90°， ∴MC与⊙P相切。