Question

设f（x）=x 2 +ax+b，求证：||f（1）|，|f（2）||f（3）|中至少有一个不小于 1 2

设f（x）=x 2 +ax+b，求证：||f（1）|，|f（2）||f（3）|中至少有一个不小于 1 2 ．

Answer 1

证明：∵f（x）=x 2 +px+q ∴f（1）=1+p+qf（2）=4+2p+qf（3）=9+3p+q 所以f（1）+f（3）-2f（2）=（1+p+q）+（9+3p+q）-2（4+2p+q）=2． 假设|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于 1 2 ， 则 |f(1)|＜ 1 2 ，|f(2)|＜ 1 2 ，|f(3)|＜ 1 2 ， 即有 - 1 2 ＜f(1)＜ 1 2 - 1 2 ＜f(2)＜ 1 2 - 1 2 ＜f(3)＜ 1 2 ∴-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2 由贞面可知f（1）+f（3）-2f（2）=2， 与-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2矛盾， ∴假设不成立，即原命题成立．