Question

设圆满足(1) y 轴截圆所得弦长为2.(2)被 x 轴分成两段弧，其弧长之比为3∶

设圆满足(1) y 轴截圆所得弦长为2.(2)被 x 轴分成两段弧，其弧长之比为3∶1，在满足(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线 l : x －2 y =0的距离最小的圆的方程．

Answer 1

设圆的圆心为 P ( a , b ),半径为 r ，则 P 到 x 轴， y 轴的距离分别为｜ b ｜、｜ a ｜，由题设知圆 P 截 x 轴所得劣弧所对圆心角为90°,故圆 P 截 x 轴所得弦长为 r =2 b .    ∴ r 2 =2 b 2           ① 又由 y 轴截圆得弦长为2，  ∴ r 2 = a 2 +1        ② 由①、②知2 b 2 － a 2 =1.又圆心到 l : x －2 y =0的距离 d = , ∴5 d 2 =( a －2 b ) 2 = a 2 +4 b 2 －4 ab ≥ a 2 +4 b 2 －2( a 2 + b 2 )=2 b 2 － a 2 =1.当且仅当 a = b 时“=”号成立， ∴当 a = b 时， d 最小为 ，由 得 或 由①得 r = . ∴( x －1) 2 +( y －1) 2 =2或( x +1) 2 +( y +1) 2 =2为所求．

同答案