Question

(拓展深化)如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α.且DM交AC于F，ME交BC于G， (1)

(拓展深化)如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α.且DM交AC于F，ME交BC于G， (1)写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；(2)连接FG，如果α＝45°，AB＝4 ，AF＝3，求FG的长．

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Answer 1

(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM，证明见解析   (2)

解　(1)△AMF∽△BGM，△DMG∽△DBM，△EMF∽EAM. 以下证明：△AMF∽△BGM. ∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E ＝∠BMG，∠A＝∠B， ∴△AMF∽△BGM. (2)当α＝45°时， 可得AC⊥BC且AC＝BC. ∵M为AB的中点， ∴AM＝BM＝2 . 又∵△AMF∽△BGM， ∴ ＝ ∴BG＝ ＝ ＝ . 又AC＝BC＝4 ×sin 45°＝4， ∴CG＝4－ ＝ . ∵CF＝4－3＝1，∴FG＝ ＝ ＝ .