Question

如图，把矩形ABCD按如图所示方式放置，若点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（0，4）．（1）求点C的坐标；

如图，把矩形ABCD按如图所示方式放置，若点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（0，4）．（1）求点C的坐标；（2）求经过A，O，C三点的抛物线的解析式．

Answer 1

解：（1）如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F．
则CF∥x轴，故∠4=∠2．
∵点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（0，4），．
∴AE=3，OB=4．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD，∠BAD=∠ADC=90°．
∴∠1+∠4=∠1+∠2=∠2+∠3，
∴∠1=∠3，
在△BCF与△ADE中，

∠BFC＝∠AED＝90° ∠1＝∠3 BC＝AD

，
∴△BCF≌△ADE（AAS），
∴CF=DE=2，BF=AE=3，
∴OF=OB-BF=4-3=1，
∴点C的坐标为（-2，1）；

（2）设过A，O，C三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
则把A，O，C坐标代入得

3＝4a+2b+c   4＝c   1＝4a?2b+c

，
解得a=?

1

2

，b=

1

2

，c=4，
∴过A，O，C三点的抛物线的解析式为
y＝?

1

2

x2+

1

2

x+4．