Question

给出下列四个命题：①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；②若0＜a＜1，则函数f（x）=x2

给出下列四个命题：①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”；②若0＜a＜1，则函数f（x）=x2+ax-3只有一个零点；③函数y＝22sinxcosx在[?π4，π4]上是单调递减函数；④若lga+lgb=lg（a+b），则a+b的最小值为4．其中真命题的序号是______（把所有真命题的序号都填上）．

Answer 1

①命题“?x∈R，cosx＞0”的否定是“?x∈R，cosx≤0”是一个真命题，由于原命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题；正确；
②若0＜a＜1，则f（x）=x²+a^x-3只有一个零点是个假命题，由于x=0时，f（0）＜0，x趋向于负无穷大与正无穷大时函数值都是正数，故此函数至少有两个零点；
③函数y=

2

sin2x，
因为由 2kπ+

π

2

≤2x≤2kπ+

3π

2

，∴kπ+

π

4

≤x≤kπ+

3π

4

，（k∈Z），
∴函数y＝2

2

sinxcosx在[?

π

4

，

π

4

]上不是单调递减函数，故错；
④若lga+lgb=lg（a+b），则a+b的最小值为4是个真命题，
由lga+lgb=lg（a+b），得ab=a+b≤（

a+b

2

）2
解得a+b≥4，故a+b的最小值为4；
综上证明知①④是真命题
故答案为：①④