Question

如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为4，点B在原点上，P是BC上一动点，QP⊥AP交DC于Q，设PB

如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为4，点B在原点上，P是BC上一动点，QP⊥AP交DC于Q，设PB=x，△ADQ的面积为y．（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）（1）中函数若是一次函数，求出直线与两坐标轴围成的三角形面积，若是二次函数，请利用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标．（3）点P是否存在这样的位置，使△APB的面积是△ADQ的面积的23，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）画出图形，
设QC=z，由Rt△ABP∽Rt△PCQ，

4

4?x

=

x

z

，
z=

x(4?x)

4

，①
y=

1

2

×4×（4-z），②
把①代入②y=

1

2

x²-2x+8（0＜x＜4）．
（2）y=

1

2

x²-2x+8=

1

2

（x-2）²+6，
∴对称轴为x=2，顶点坐标为（2，6）．

（3）如图所示；
存在，由S_△APB=

2

3

S_△ADQ，可得y=3x，
∴

1

2

x²-2x+8=3x，
∴x=2，x=8（舍去），
∴当P为BC的中点（2，0）时，△PAB的面积等于△ADQ的面积的

2

3

．