已知函数f（x）=2ax-1x-（2+a）lnx（a≥0）．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）当a＞0时，讨论f（x）
已知函数f（x）=2ax-1x-（2+a）lnx（a≥0）．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（2，3），x...
已知函数f（x）=2ax-1x-（2+a）lnx（a≥0）．（1）当a=0时，求f（x）的极值；（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；（3）若对任意的a∈（2，3），x1，x2∈[1，3]，恒有（m-ln3）a-2ln3＞|f（x1）-f（x2）|成立，求实数m的取值范围．
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（1）当a=0时，f(x)＝?
?2lnx?f、(x)＝
?
＝
(x＞0)…（2分）
由f、(x)＝
＞0，解得x＜
，可知f（x）在（0，
）上是增函数，在（
，+∞）上是减函数．…（4分）
∴f（x）的极大值为f(
)＝2ln2?2，无极小值．…（5分）
(2)f(x)＝2ax?
?(2+a)lnx?f、(x)＝2a+
?(2+a)
＝
．①当0＜a＜2时，f（x）在（0，
）和(
，+∞)上是增函数，在(
，
)上是减函数；…（7分）
②当a=2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数； …（8分）
③当a＞2时，f（x）在(0，
)和(
，+∞)上是增函数，在(
，
)上是减函数 （9分）
（3）当2＜a＜3时，由（2）可知f（x）在[1，3]上是增函数，
∴|f(x1)?f(x2)|≤f(3)?f(1)＝4a?(2+a)ln3?
．…（10分）
由（m-ln3）a-2ln3＞|f（x1）-f（x2）|对任意的a∈（2，3），x1，x2∈[1，3]恒成立，
∴（m-ln3）a-2ln3＞|f（x1）-f（x2）|max…（11分）
即(m?ln3)a?2ln3＞4a?(2+a)ln3?
对任意2＜a＜3恒成立，
即m＞4?
对任意2＜a＜3恒成立，…（12分）
由于当2＜a＜3时，
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
| 2 |
| x |
| 1?2x |
| x2 |
由f、(x)＝
| 1?2x |
| x2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴f（x）的极大值为f(
| 1 |
| 2 |
(2)f(x)＝2ax?
| 1 |
| x |
| 1 |
| x2 |
| 1 |
| x |
| 2ax2?(2+a)x+1 |
| x2 |
．①当0＜a＜2时，f（x）在（0，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
②当a=2时，f（x）在（0，+∞）上是增函数； …（8分）
③当a＞2时，f（x）在(0，
| 1 |
| a |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| 2 |
（3）当2＜a＜3时，由（2）可知f（x）在[1，3]上是增函数，
∴|f(x1)?f(x2)|≤f(3)?f(1)＝4a?(2+a)ln3?
| 4 |
| 3 |
由（m-ln3）a-2ln3＞|f（x1）-f（x2）|对任意的a∈（2，3），x1，x2∈[1，3]恒成立，
∴（m-ln3）a-2ln3＞|f（x1）-f（x2）|max…（11分）
即(m?ln3)a?2ln3＞4a?(2+a)ln3?
| 4 |
| 3 |
即m＞4?
| 4 |
| 3a |
由于当2＜a＜3时，
| 10 |
| 3 |
