Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}中bn＞0（n∈N*），且b1+b2+b3=15

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}中bn＞0（n∈N*），且b1+b2+b3=15，又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an?bn}的前n项和Tn．

Answer 1

（Ⅰ）∵a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N^*），
∴a_n=2S_n-1+1（n∈N^*，n＞1），
∴a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1），
∴a_n+1-a_n=2a_n，
∴a_n+1=3a_n（n∈N^*，n＞1）（2分）
而a₂=2a₁+1=3=3a₁，
∴a_n+1=3a_n（n∈N^*）
∴数列{a_n}是以1为首项，3为公比的等比数列，
∴a_n=3^n-1（n∈N^*）（4分）
∴a₁=1，a₂=3，a₃=9，
在等差数列{b_n}中，
∵b₁+b₂+b₃=15，
∴b₂=5．
又因a₁+b₁、a₂+b₂、a₃+b₃成等比数列，设等差数列{b_n}的公差为d，
∴（1+5-d）（9+5+d）=64（6分）
解得d=-10，或d=2，
∵b_n＞0（n∈N*），
∴舍去d=-10，取d=2，
∴b₁=3，
∴b_n=2n+1（n∈N^*），（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知T_n=3×1+5×3+7×3²++（2n-1）3^n-2+（2n+1）3^n-1①
3T_n=3×3+5×3²+7×3³++（2n-1）3^n-1+（2n+1）3ⁿ②（10分）
①-②得-2T_n=3×1+2×3+2×3²+2×3³++2×3^n-1-（2n+1）3ⁿ（12分）
=3+2（3+3²+3³++3^n-1）-（2n+1）3ⁿ
=3+2×

3?3n

1?3

?(2n+1)3n＝3n?(2n+1)3n＝?2n?3n，
∴T_n=n?3ⁿ（14分）