Question

观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3-1；（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1…（1）根据上

观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1；（x-1）（x2+x+1）=x3-1；（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1…（1）根据上面各式的规律得：（x-1）（xm-1+xm-2+xm-3+…+x+1）=______；（其中n为正整数）；（2）根据这一规律，计算1+2+22+23+24+…+268+269 的值．

Answer 1

（1）（x-1）（x^m-1+x^m-2+x^m-3+…+x²+x+1）=x^m-1；
（2）根据上面的式子可得：1+x+x²+x³+…+xⁿ=（xⁿ⁺¹-1）÷（x-1），
∴1+2+2²+…+2⁶⁸+2⁶⁹=（2⁶⁹⁺¹-1）÷（2-1）=2⁷⁰-1．