Question

已知椭圆x^2/4+y^2=1的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM,AN交椭圆于M,N两点（1）当直线AM的斜率为1时，

求点M的坐标（2）当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由。【主要是第二问不会】]

Answer 1

第一小题，得M(-6/5,4/5)，N(-6/5,-4/5)；
第二小题：假设MN过x轴上一定点；由（1）知定点坐标为Q(-6/5,0)；
A(-2,0)，设AM：y=k(x+2)，则AN：y=-(x+2)/k
设M(x1,y1)，N(x2,y2)；
直线AM与椭圆联列消去y，得：(4k²+1)x²+16k²x+16k²-4=0；
A和M是这个方程的两个解，由韦达定理：x1-2=-16k²/(4k²+1)，
得：x1=4/(4k²+1)-2，则y1=k(x1+2)=4k/(4k²+1)；
直线AN和椭圆联列消去y，得：(k²+4)x²+16x+16-4k²=0；
A和N是这个方程的两个解，由韦达定理：x2-2=-16/(k²+4)，
得：x2=2-16/(k²+4)，则y2=-(x2+2)/k=-4k/(k²+4)；
所以：M（4/(4k²+1)-2，4k/(4k²+1)），N（2-16/(k²+4)，-4k/(k²+4)），Q(-6/5,0)；
则MQ的斜率=5k/4(1-k²)，NQ的斜率=5k/4(1-k²)，
MQ的斜率=NQ的斜率
所以，M,Q,N三点共线
即MN必然过定点Q(-6/5,0)；

希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！元旦愉快！

Answer 2

1) （-6/5, 4/5)
2) 方法找特殊点：由1）若过定点必过S（-6/5,0) ，不妨M在椭圆与y轴的交点(0,1)
此时MN的连线过S,方程y=5x/6+1，连理椭圆方程，求出N(-30/17,-8/17)
再求出AN的斜率为-2，与AM不垂直。故不过定点