证明arctana-arctanb的绝对值小于等于a-b的绝对值
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证明：设f(x)=arctanx,x∈R
则f'(x)=1/(1+x^2)
原题即证 ：|arctana-arctanb|≤|a-b|
(1)若a=b,命题显然真。
(2)若a≠b,不妨设a<b
则f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导
由拉格朗日中值定理：存在ξ∈(a,b),
使 |(arctana-arctanb)/(a-b)|
=|f'(ξ)|=1/(1+ξ^2)≤1
即 |arctana-arctanb|≤|a-b|
由(1)(2)证得：|arctana-arctanb|≤|a-b|
希望对你有点帮助！
则f'(x)=1/(1+x^2)
原题即证 ：|arctana-arctanb|≤|a-b|
(1)若a=b,命题显然真。
(2)若a≠b,不妨设a<b
则f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导
由拉格朗日中值定理：存在ξ∈(a,b),
使 |(arctana-arctanb)/(a-b)|
=|f'(ξ)|=1/(1+ξ^2)≤1
即 |arctana-arctanb|≤|a-b|
由(1)(2)证得：|arctana-arctanb|≤|a-b|
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2025-01-06 广告
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