Question

证明arctana-arctanb的绝对值小于等于a-b的绝对值

Answer 1

　　证明：设f(x)=arctanx,x∈R
　　 则f'(x)=1/(1+x^2)

　　原题即证 ：|arctana-arctanb|≤|a-b|

　　(1)若a=b,命题显然真。

　　(2)若a≠b,不妨设a<b
　　则f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导

　　由拉格朗日中值定理：存在ξ∈(a,b),

　　使 |(arctana-arctanb)/(a-b)|
　　=|f'(ξ)|=1/(1+ξ^2)≤1

　　即 |arctana-arctanb|≤|a-b|

　　由(1)(2)证得：|arctana-arctanb|≤|a-b|

　　希望对你有点帮助！