Question

定积分证明题

f(x)在〔a,b〕上连续，证明∫（积分下限是a，积分上限是b）f(a+b-x)dx=∫（积分下限是a，积分上限是b）f(x)dx
木有看懂…一楼………

Answer 1

证：
令 a+b-x=t, 则 x=a+b-t,
dx=-dt
当 x=a 时， t=b,
当 x=b 时， t=a
所以 ∫(下a，上b)f(a+b-x)dx
=∫(下b，上a)f(t)(-dt)
=-∫(下b，上a)f(t)dt
=∫(下a，上b)f(t)dt........(1)式
上式中 t 只是一个变量，可以用任意变量指代，不妨用 x 代，则上式变成∫(下a，上b)f(x)dx。
所以 ∫（积分下限是a，积分上限是b）f(a+b-x)dx=∫（积分下限是a，积分上限是b）f(x)dx。
（证毕）