Question

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶

如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点B在抛物线y=ax2+ax-2上，（1）点A的坐标为______，点B的坐标为______；抛物线的解析式为______；（2）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点D是（1）中所求抛物线在第三象限内的一个动点，连接BD、CD．当△BCD的面积最大时，求点D的坐标．（4）若点P是（1）中所求抛物线上一个动点，以线段AB、BP为邻边作平行四边形ABPQ．当点Q落在x轴上时，直接写出点P的坐标．

Answer 1

解：（1）在Rt△OAC中，AC=

5

，OC=1，∴OA=

AC2?OC2

=2，即 A（0，2）；
过点B作BE⊥x轴于E，可得：△BEC≌△COA，
∴BE=OC=1，CE=OA=2，OE=CE+OC=3，即 B（-3，1）；
将点B（-3，1）代入y=ax²+ax-2中，得：
9a-3a-2=1，a=

1

2

∴抛物线的解析式为：y=

1

2

x²+

1

2

x-2．
故答案：A（0，2），B（-3，1），y=

1

2

x²+

1

2

x-2．

（2）存在点P（点B除外），使三角形ACP是以AC为直角边的直角三角形
理由如下：
分情况讨论：
①延长BC交抛物线于点P，连接AP₁
因为∠ACB=90°，∴∠ACP=90°
设直线BC的解析式为y=kx+b
将B（-3，1），C（-1，0）代入上式得

k＝? 1 2 b＝? 1 2

，所以 y=-

1

2

x-

1

2

；
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