Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB ∥ CD，AD=BC，AC⊥BD，延长AB到点M，使BM=DC，连接CM．（1）AC与CM相等吗？简

如图，等腰梯形ABCD中，AB ∥ CD，AD=BC，AC⊥BD，延长AB到点M，使BM=DC，连接CM．（1）AC与CM相等吗？简述你的理由；（2）若CD=3，AB=7，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

（1）相等，理由是： ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AC=BD， ∵AB ∥ CD， ∴BM ∥ DC， ∵BM=DC， ∴四边形BMCD是平行四边形， ∴CM=BD， ∴AC=CM； （2）∵BD ∥ CM，AC⊥BD， ∴AC⊥CM， ∴∠ACM=90°， ∵AC=CM， ∴△ACM是等腰直角三角形， ∵AB=7，BM=CD=3， ∴AM=3+7=10， ∴由勾股定理得：CM=AC=BD=5 2 ， ∴梯形ABCD的面积是 1 2 ×AC×BD= 1 2 ×5 2 ×5 2 =25．