Question

如图，抛物线y=x 2 -2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．（1）k=______，点A的坐标为______

如图，抛物线y=x 2 -2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．（1）k=______，点A的坐标为______，点B的坐标为______；（2）设抛物线y=x 2 -2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在直线BC下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设经过点A、B、C三点的圆是⊙P，请直接写出：它的半径长为______，圆心P的坐标为______．

Answer 1

（1）∵抛物线y=x 2 -2x+k经过点C（0，-3）， ∴k=-3， ∴抛物线的解析式为：y=x 2 -2x-3，当y=0时， ∴x 2 -2x-3=0，解得： x 1 =-1，x 2 =3， ∴A（-1，0），B（3，0） 故答案为：-3，（-1，0），（3，0） （2）∵y=x 2 -2x-3， ∴y=（x-1） 2 -4， ∴M（1，-4），作MG⊥x轴， ∴MG=4，OG=1． ∵A（-1，0），C（0，-3），B（3，0）， ∴OA=1，OC=3，GB=2， ∴S 四边形ABMC =S △AOC +S 四边形OCMG +S △GMB ， = 1×3 2 + (3+4)×1 2 + 4×2 2 =5+4 =9 （3）设D（x，x 2 -2x-3）， ∴OH=x，DH=2x+3-x 2 ，HB=3-x ∴S 四边形ABDC =S △AOC +S 四边形OCDH +S △HDB ， = 3 2 + (3+2x+3- x 2 )x 2 + (3-x)(2x+3- x 2 ) 2 =- 3 2 （x- 3 2 ） 2 + 75 8 ∴x= 3 2 时，S 四边形ABDC 的最大值为 75 8 ， ∴y= 9 4 -3-3=- 15 4 ， ∴D（ 3 2 ，- 15 4 ） （4）P（1，-1），⊙P的半径为： 5