Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 (2b- 3 c)cosA= 3 acosC ．

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且 (2b- 3 c)cosA= 3 acosC ．（1）求角A的大小；（2）若角 B= π 6 ，BC边上的中线AM的长为 7 ，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）因为 (2b- 3 c)cosA= 3 acosC ， 所以 (2sinB- 3 sinC)cosA= 3 sinAcosC 2sinBcosA= 3 sinAcosC+ 3 sinCcosA 2sinBcosA= 3 sin(A+C) ， 则 2sinBcosA= 3 sinB ， 所以 cosA= 3 2 ，于是 A= π 6 （2）由（1）知 A=B= π 6 ， 所以AC=BC， C= 2π 3 设AC=x，则 MC= 1 2 x 又 AM= 7 ． 在△AMC中由余弦定理得AC 2 +MC 2 -2AC?MCcosC=AM 2 ， 即 x 2 +( x 2 ) 2 -2x? x 2 ?cos120°=( 7 ) 2 ， 解得x=2， 故 S △ABC = 1 2 x 2 sin 2π 3 = 3 ．