Question

过椭圆 x 2 9 + y 2 4 =1 上一点H作圆x 2 +y 2 =2的两条切线，点A，B为切

过椭圆 x 2 9 + y 2 4 =1 上一点H作圆x 2 +y 2 =2的两条切线，点A，B为切点，过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点，则△POQ面积的最小值为（　　） A． 1 2 B． 4 3 C．1 D． 2 3

Answer 1

∵点H在椭圆 x 2 9 + y 2 4 =1 上，∴H（3cosθ，2sinθ）， ∵过椭圆 x 2 9 + y 2 4 =1 上一点H（3cosθ，2sinθ）作圆x 2 +y 2 =2的两条切线，点A，B为切点， ∴直线AB的方程为：（3cosθ）x+（2sinθ）y=2， ∵过A，B的直线l与x轴，y轴分布交于点P，Q两点， ∴P（ 2 3cosθ ，0），Q（0， 1 sinθ ）， ∴△POQ面积S= 1 2 × 2 3cosθ × 1 sinθ = 2 3 × 1 sin2θ ， ∵-1≤sin2θ≤1， ∴当sin2θ=1时，△POQ面积取最小值 2 3 ．