Question

已知圆C方程为：x 2 +y 2 =4．（Ⅰ）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若 |AB|=2 3

已知圆C方程为：x 2 +y 2 =4．（Ⅰ）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若 |AB|=2 3 ，求直线l的方程；（Ⅱ）过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量 OQ = OM + ON ，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．

Answer 1

解（Ⅰ）①当直线l垂直于x轴时， 则此时直线方程为x=1，l与圆的两个交点坐标为 (1， 3 ) 和 (1，- 3 ) ， 其距离为 2 3 满足题意（1分） ②若直线l不垂直于x轴，设其方程为y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0 设圆心到此直线的距离为d，则 2 3 =2 4- d 2 ，得d=1（3分） ∴ 1= |-k+2| k 2 +1 ， k= 3 4 ， 故所求直线方程为3x-4y+5=0 综上所述，所求直线为3x-4y+5=0或x=1（7分） （Ⅱ）设点M的坐标为（x 0 ，y 0 ）（y 0 ≠0），Q点坐标为（x，y） 则N点坐标是（0，y 0 ）（9分） ∵ OQ = OM + ON ， ∴（x，y）=（x 0 ，2y 0 ）即x 0 =x， y 0 = y 2 （11分） 又∵x 0 2 +y 0 2 =4，∴ x 2 + y 2 4 =4(y≠0) ∴Q点的轨迹方程是 x 2 4 + y 2 16 =1(y≠0) ，（13分） 轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆，除去长轴端点．（14分）