Question

如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC ∥ BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=6

如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC ∥ BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=6 3 cm． （1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径长；（3）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积（结果保留π）．

Answer 1

（1）证明：连接CO． ∵∠CDB=∠OBD=30°， ∴∠BOC=60°．（1分） ∵AC ∥ BD， ∴∠A=∠OBD=30°． ∴∠ACO=90°． ∴AC为⊙O切线．（2分） （2）∵∠ACO=90°，AC ∥ BD， ∴∠BEO=∠ACO=90°． ∴DE=BE= 1 2 BD=3 3 ．（3分） 在Rt△BEO中，sin∠O=sin60°= BE OB ， ∴ 3 2 = 3 3 OB ．∴OB=6． 即⊙O的半径长为6cm．（4分） （3）∵∠CDB=∠OBD=30°， 又∵∠CED=∠BEO，BE=ED，∴△CDE≌△OBE． ∴ S 阴 = S 扇OBC = 60π× 6 2 360 =6π （cm 2 ）（5分） 答：阴影部分的面积为6πcm 2 ．