Question

如图1，正方形ABCD的边长为6，点P、Q分别是AB、AD边上的动点，且AP=AQ，点M在AB的延长线上，BE平分∠CBM

如图1，正方形ABCD的边长为6，点P、Q分别是AB、AD边上的动点，且AP=AQ，点M在AB的延长线上，BE平分∠CBM，PD⊥PE．（1）求证：PD=PE；（2）当AP的长为多少时，△PDQ的面积最大，并求出面积最大值．

Answer 1

（1）证明：∵AP=AQ，∠A=90°，
∴△APQ是等腰直角三角形，
∴∠AQP=45°，
∴∠DQP=135°，
∵BE平分∠CBM，
∴∠CBE=

1

2

×90°=45°，
∴∠PBE=135°，
∴∠DQP=∠PBE，
∵AP=AQ，AB=AD，
∴AB-AP=AD-AQ，
即DQ=PB，
∵PD⊥PE，
∴∠APD+∠BPE=90°，
又∵∠APD+∠ADP=90°，
∴∠ADP=∠BPE，
在△DPQ和△PEB中，

∠ADP＝∠BPE DQ＝PB ∠DQP＝∠PBE

，
∴△DPQ≌△PEB（ASA），
∴PD=PE；

（2）解：设AP=x，则DQ=PB=6-x，
△PDQ的面积=

1

2

DQ?AP=

1

2

（6-x）?x=-

1

2

（x-3）²+

9

2

，
∵a=-

1

2

＜0，
∴当x=3，即AP=3时，△PDQ的面积最大，最大值为

9

2

．