(2008?丰台区一模)如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D,且过点D的⊙O的切线DE平分BC边,交BC于
(2008?丰台区一模)如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D,且过点D的⊙O的切线DE平分BC边,交BC于E.(1)求证:BC是⊙O的切线.(2)当△ABC...
(2008?丰台区一模)如图,以△ABC的边AB为直径的⊙O交AC边于点D,且过点D的⊙O的切线DE平分BC边,交BC于E.(1)求证:BC是⊙O的切线.(2)当△ABC满足什么条件时,以点O、B、E、D为顶点的四边形是正方形?
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解:(1)连接OD、OE,
∵O为AB的中点,E为BC的中点,
∴OE为△ABC的中位线,
∴OE∥AC(三角形中位线性质),
∴∠DOE=∠ODA,∠BOE=∠A(平行线性质),
∵OA=OD
∴∠A=∠ODA
∴∠DOE=∠BOE(等量代换)
∵OD=OB,OE=OE
∴△ODE≌△OBE(边角边)
∴∠ODE=∠OBE
∵DE是⊙O的切线
∴∠ODE=∠OBE=90°
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线.
(2)当为等腰三角形(AB=BC)时四边形OBDE是正方形,证明如下:
连接BD,
∵AB是⊙O的直径,
∴BD⊥AC(直径所对的圆周角为直角),
∵AB=BC,
∴D为AC的中点(等腰三角形的性质),
∵E为BC的中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴DE∥AB,
∵DE为⊙O的切线,
∴OD⊥DE,
∴OD⊥AB,
∴∠DOB=∠OBE=∠ODE=90°,
∵OD=OB,
∴四边形OBED为正方形.
∵O为AB的中点,E为BC的中点,
∴OE为△ABC的中位线,
∴OE∥AC(三角形中位线性质),
∴∠DOE=∠ODA,∠BOE=∠A(平行线性质),
∵OA=OD
∴∠A=∠ODA
∴∠DOE=∠BOE(等量代换)
∵OD=OB,OE=OE
∴△ODE≌△OBE(边角边)
∴∠ODE=∠OBE
∵DE是⊙O的切线
∴∠ODE=∠OBE=90°
∴OB⊥BC
∴BC是⊙O的切线.
(2)当为等腰三角形(AB=BC)时四边形OBDE是正方形,证明如下:
连接BD,
∵AB是⊙O的直径,
∴BD⊥AC(直径所对的圆周角为直角),
∵AB=BC,
∴D为AC的中点(等腰三角形的性质),
∵E为BC的中点,
∴DE为△ABC的中位线,
∴DE∥AB,
∵DE为⊙O的切线,
∴OD⊥DE,
∴OD⊥AB,
∴∠DOB=∠OBE=∠ODE=90°,
∵OD=OB,
∴四边形OBED为正方形.
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