Question

已知椭圆C：x24+y23＝1，过点P（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，设点A关于x轴的对称点

已知椭圆C：x24+y23＝1，过点P（4，0）且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为A1（1）求证：直线A1B过x轴上一定点，并求出此定点坐标；（2）求△OA1B面积的取值范围．

Answer 1

（I）设直线方程为l：x=my+4，
与

x2

4

+

y2

3

＝1联立并消去x得：（3m²+4）y²+24my+36=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有y1+y2＝

?24m

3m2+4

，y1y2＝

36

3m2+4

，
由A关于x轴的对称点为A₁，
得A₁（x₁，-y₁），
根据题意设直线A₁B与x轴相交于点Q（t，0），
得kQB＝kQA1，
即

y2

x2?t

＝

y1

t?x1

，
整理得t＝

x1y2+x2y1

y1+y2

，t＝

x1y2+x2y1

y1+y2

＝

(4+my1)y2+(4+my2)y1

y1+y2

＝4+

2my1y2

y1+y2

，
代入得t=1，
则定点为Q（1，0）
（II）设直线方程为l：x=my+4，
与

x2

4

+

y2

3

＝1联立并消去x得：（3m²+4）y²+24my+36=0，
△=（24m）²-4×36×（3m²+4）＞0，
解得m＞2或m＜-2，
而直线A₁B过定点Q（1，0）
所以S△OA1B=

1

2

|OQ|?|y