Question

设f（x，y）=x2yx2+y2，x2+y2≠00，x2+y2＝0，讨论f（x，y）在原点处的连续性、偏导数存在性及可微性

设f（x，y）=x2yx2+y2，x2+y2≠00，x2+y2＝0，讨论f（x，y）在原点处的连续性、偏导数存在性及可微性．

Answer 1

对?ε＞0，取δ=2ε，当（x，y）属于（0，0）的δ邻域U（δ），即

x2+y2

＜δ时，有
|f(x，y)?f(0，0)|＝

|x2y|

x2+y2

≤

|x|

2

≤

x2+y2

2

＜ε，
于是，f（x，y）在原点处连续；
由f′x(0，0)＝

lim

△x→0

f(0+△x，0)

△x

＝0及f′y(0，0)＝

lim

△y→0

f(0，0+△y)

△y

＝0，
知f（x，y）在原点处的两个偏导数存在；
记△f＝f(△x，△y)?f(0，0)＝

△x2△y

△x2+△y2

，
df=f′_x（0，0）?△x+f′_y（0，0）?△y=0，ρ＝

△x2+△y2

．
当△y=△x时，因

lim

ρ→0

△f?df

ρ

＝

lim

ρ→0

△x2△y

(△x2+△y2)3/2

＝

lim

△x→0

△x3

(2△x2)3/2

＝

1

2 2

≠0，
知△f=f（△x，△y）-f（0，0）
不能写成f′_x（0，0）?△x+f′_y（0，0）?△y+o（ρ）的形式，
即f（x，y）在原点处不可微．