Question

（2013?平遥县模拟）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，tan∠BAC=34，将∠ABC对折，使点C的对

（2013?平遥县模拟）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，tan∠BAC=34，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d有无最大值？如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．（3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上有一点F，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标．

Answer 1

（1）在Rt△ABC 中，
∵BC=3，tan∠BAC=

3

4

，
∴AC=4．
∴AB=

BC2+AC2

＝

32+42

＝5．
设OC=m，连接OH，如图，由对称性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，
∴AH=AB-BH=2，OA=4-m．
∴在Rt△AOH 中，OH²+AH²=OA²，即m²+2²=（4-m）²，得 m=

3

2

．
∴OC=

3

2

，OA=AC-OC=

5

2

，
∴O（0，0）A（

5

2

，0），B（-

3

2

，3）．
设过A、B、O三点的抛物线的解析式为：y=ax（x-

5

2

）．
把x=?

3

2

，y=3代入解析式，得a=

1

2

．
∴y=

1

2

x（x-

5

2

）=

1

2

x2?

5

4

x．
即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=

1

2

x2?

5

4

x．

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意得：

? 3 2 k+b＝3 5 2 k+b＝0

解之得：

k＝? 3 4 b＝ 15 8

，
∴直线AB的解析式为y=?

3

4

x+

15

8

．
设动点P（t，?

3

4

t+

15

8

），则M（t，

1

2

t2?

5

4

t）．
∴d=（?

3

4

t+

15

8

）-（

1

2

t2?

5

4

t）=-

1

2

t2+

1

2

t+

15

8

=?

1

2

(t?

1

2

)2+2
∴当t=

1

2

时，d有最大值，最大值为2．

（3）设抛物线y=

1

2

x2?

5

4

x的顶点为D．
∵y=

1

2

x2?

5

4

x=

1

2

(x?

5

4

)2?

25

32

，
∴抛物线的对称轴x=

5

4

，顶点D（

5

4

，-

25

32

）．
根据抛物线的对称性，A、O两点关于对称轴对称．
①当AO为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形．
这时点D即为点E，所以E点坐标为（

5

4

，?

25

32

）．
②当AO为平行四边形的边时，由OA=

5

2

，知抛物线存在点E的横坐标为

5

4

+

5

2

或

5

4

?

5

2

，即

15

4

或?

5

4

，
分别把x=

15

4

和x=?

5

4

代入二次函数解析式y=

1

2

x