Question

已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A的坐标（4，0

已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A的坐标（4，0），C的坐标（0，-2），直线y=- x与边BC相交于点D．
（1）求点D的坐标；
（2）抛物线y=ax2+bx+c经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；
（3）在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)点D的纵坐标为-2,把Y=-2代入Y=-X,得:
-2=-X,X=2.则点D为(2,-2).
(2)抛物线Y=ax²+bx+c过原点O(0,0),A(4,0),D(2,-2).则：
0=c;
0=16a+4b+0;
-2=4a+2b+0;
解得：a=1/2,b=-2.
则过点A，D，O的抛物线表达式为：y=(1/2)x²-2x.
(3)这第三问有两种情况：
1。过点A作OD的平行线,交抛物线于点M1.
∵直线OD为y= -x;直线AM1与OD平行。
∴设直线AM1为:y=-x+b',图象过点A（4，0），则：
0=-4+b',b'=4.即直线AM1为y=-x+4.
把y=-x+4与y=(1/2)x²-2x联立方程组得：x=-2,y=6.即M1为（-2，6）；
2。过点O作AD的平行线交抛物线于M2.同理相似可求得:点M2为(6,6).
综上所述,抛物线上存在点M,使O,D,A,M为顶点的四边形是梯形,点M的坐标为(-2,6)或(6,6).