Question

如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3、0））（0,1）点D是线段BC上的动点，（与端点B

，C不重合），过点D做直线y=-1/2x+b交折线OAB与点E
（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式。
（2)当点E在线段OA上时，矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O'A'B'C'，试探究四边形O'A'B'C'与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求重叠部分面积；若改变，说明理由。
同上

Answer 1

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Answer 2

（(1)
作DE//QP交OC于E，再由FD//PE得到四边形DFPE是平行四边形。
由轴对称关系，可得角DPC=角DPQ；又AD//OC知角DPC=角PDA。所以角DPQ=角PDA，得PF=DP。
这样就得到了四边形DFPE是菱形。
设CE=QF=m，则菱形DFPE中PE=DF=8-x=m.
所以直角三角形QFD中 m^2+4^2==(8-x-m)^2,
得到 m = (-48 + 16 x - x^2)/(2 (-8 + x)).
因此S关于x的函数关系式为:
{
当0<x<=4时，有S=(1/2)*4*(8-x-m)=(80 - 16 x + x^2)/(8 - x);
当4<x<8时，有S=-2x+16.
}
所以x=2时，S=26/3.

(2)
当0<x<=4时，有(80 - 16 x + x^2)/(8 - x)=41/5,解得 x_1=3, x_2=24/5(不在范围内，舍去);
当4<x<8时，有-2x+16=41/5,解得x=39/10(不在范围内，舍去).
综上所述，x=3.
作PG垂直AD于G，过Q作y轴的垂线，交PG延长线于H。则由HQ//GF得三角形PGF相似于三角形PHQ。
于是 PG/PH = GF/HQ = PF/PQ, 即 4/PH = m/PQ = (5-m)/5.
解之得 PH = 200/41, HQ = 45/41.
故Q的坐标是(168/41,200/41),
因此 y_PQ=(40/9)x-(40/3).

(3)
由于变量OP=x和函数y的自变量混淆，因此从此处起只记OP为a；并停顿5秒用以再次鄙视出题者。
将第(2)题中 PG/PH = GF/HQ = PF/PQ 的结论一般化(即a不赋值为3)，
可以导出 HQ=(384 - 176 a + 24 a^2 - a^3)/(80 - 16 a + a^2).
所以Q的横坐标是 a+(384 - 176 a + 24 a^2 - a^3)/(80 - 16 a + a^2) = (8+a)/2,
因此 a_1=8(舍去), a_2=4(2-sqrt(3)), x_3=4(2+sqrt(3))(舍去)。
综上所述，a=8-4sqrt(3), 对应的S值是 16sqrt(3)/3.

Answer 3

(1)解：有图像可得——
OA=3，OC=1
联立Y=1|2X+b,Y=0
得点E坐标（—2b,0)
有三角型面积的
S=-2b乘以1再蒢2

Answer 4

解：（1）∵四边形OABC是矩形，
点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），
∴B（3，1），
若直线经过点A（3，0）时，则b=；
若直线经过点B（3，1）时，则b=；
若直线经过点C（0，1）时，则b=1．
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1<b≤，
如图1，此时E（2b，0），
∴S=OE·CO=×2b×1=b；
②若直线与折线OAB的交点在BA上时，即<b<，如图2，
此时E（3，），D（2b﹣2，1），
∴S=S矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△DBE）
=3﹣[（2b﹣2）×1+×（5﹣2b）·（﹣b）+×3（b﹣）]
=b﹣b2，
∴；
（2）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形，
根据轴对称知：∠MED=∠NED，
又∵∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
由题意知，D（2b﹣2，1），E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b﹣（2b﹣2）=2，
∴HN=HE﹣NE=2﹣a，
设菱形DNEM的边长为a，则在Rt△DHN中，
由勾股定理知：a2=（2﹣a）2+12，
∴a=，
∴S四边形DNEM=NE·DH=．
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．

Answer 5

OA=3，OC=1
联立Y=1|2X+b,Y=0
得点E坐标（—2b,0)
有三角型面积的
S=-2b乘以1再蒢2