Question

求-3/(t^3-1)的不定积分

Answer 1

具体回答如下：

∫-3dt/(t³-1)

=∫-3dt/[(t-1)(t²+t+1)]

=∫[(t+2)/(t²+t+1)-1/(t-1)]dt

=∫[(t+1/2+3/2)/(t²+t+1)-1/(t-1)]dt

=∫(t+1/2)/(t²+t+1)dt+∫(3/2)/(t²+t+1)dt-∫dt/(t-1)

=(1/2)∫d(t²+t+1)/(t²+t+1)+(3/2)∫dt/[(t+1/2)²+(√3/2)²]-∫d(t-1)/(t-1)=ln(t²+t+1)/2+

[(3/2)/(√3/2)}arctan(x/(√3/2))-ln│t-1│+C

=1/2ln(t²+t+1)+√3arctan(2x/√3)-ln│t-1│+C

不定积分的意义：

一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。

若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。

Answer 2

解：∫-3dt/(t³-1)=∫-3dt/[(t-1)(t²+t+1)]
=∫[(t+2)/(t²+t+1)-1/(t-1)]dt
=∫[(t+1/2+3/2)/(t²+t+1)-1/(t-1)]dt
=∫(t+1/2)/(t²+t+1)dt+∫(3/2)/(t²+t+1)dt-∫dt/(t-1)
=(1/2)∫d(t²+t+1)/(t²+t+1)+(3/2)∫dt/[(t+1/2)²+(√3/2)²]-∫d(t-1)/(t-1)
=ln(t²+t+1)/2+[(3/2)/(√3/2)}arctan(x/(√3/2))-ln│t-1│+C (C是积分常数)
=ln(t²+t+1)/2+√3arctan(2x/√3)-ln│t-1│+C

追问

为什么（t^2+t+1）上面是t+2 不是别的？

追答

这是恒等式-3/[(t-1)(t²+t+1)]=(t+2)/(t²+t+1)-1/(t-1)。不然，怎么会相等呢？

Answer 3

http://zhidao.baidu.com/question/361670202.html?old=1#

Answer 4

见图