Question

一条斜率为1的直线l与离心率为根号3的双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1，交于P,Q两点，直线l与y轴交于R点

一条斜率为1的直线l与离心率为根号3的双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1，交于P,Q两点，直线l与y轴交于R点，且向量OP*向量OQ=-3，向量PQ=4向量RQ，求直线与双曲线方程

Answer 1

解：
∵双曲线(x²/a²)－(y²/b²)＝1的离心率为√3
即c/a＝√3
∴c²/a²＝(b²＋a²)/a²＝3
即b²＝2a²
∴双曲线方程即(x²/a²)－(y²/2a²)＝1
设直线l方程为y＝x＋t
令x＝0，则y＝t
∴点R(0，t)
把y＝x＋t代入双曲线方程(x²/a²)－(y²/2a²)＝1，得：
x²－2tx－t²－2a²＝0
设点P(x1，y1)，点Q(x2，y2)
则由韦达定理，得：
x1＋x2＝2t，x1•x2＝－t²－2a²
∵OP•OQ＝－3
即(x1，y1)•(x2，y2)
＝x1•x2＋y1•y2
＝x1•x2＋(x1＋t)•(x2＋t)
＝2x1•x2＋t(x1＋x2)＋t²
＝2(－t²－2a²)＋2t²＋t²
＝t²－4a²＝－3 ①
∵PQ＝4RQ
∴(x2－x1，y2－y1)＝4(x2－0，y2－t)
即(x2－x1，x2＋t－x1－t)＝4(x2－0，x2)
=>(x2－x1，x2－x1)＝4(x2，x2)
∴x2－x1＝4x2
即x1＝－3x2 ②
把②代入韦达定理，得：
x1＝3t，x2＝－t，t²＝a²
再由①得：
a＝1，t＝±1
∴直线l的方程为x－y－1＝0或x－y＋1＝0
双曲线方程为x²－(y²/2)＝1

Answer 2

解：由3=e2=1得b2=2a2，双曲线方程设为①

设直线的方程为y=x＋m，代入①得

2x2－(x＋m)2=2a2，即x2－2mx－(m2＋2a2)=0，

设P（x1， y1），Q(x2，y2)， 则x1＋x2=2m， x1x2=－m2－2a2，

又y1y2-=(x1＋m)(x2＋m)=x1x2＋m(x1＋x2)＋m2=－m2－2a2＋2m2＋m2=2(m2－a2)

∴4a2－m2－3=0 ②

∵，∴点R分所成的比为3，设点R的坐标为（0，m），则

∴x1=－3x2，代入x1＋x2=2m得x2=－m，x1=3m，

代入x1x2=－m2－2a2，得－3m2=－m2－2a2，∴m2=a2.

代入②得a2=1，从而m=±1.
∴直线l的方程为y=x±1，双曲线的方程为

Answer 3

OP*向量OQ=-3，

Answer 4

交于R点