Question

线性代数秩的证明题

设A是n*n矩阵
r(A)=n时,r(A*)=n
r(A)=n-1时,r(A*)=1
r(A)<n-1时,r(A*)=0
请问这个如何证明？

Answer 1

AA*=|A|E
1.如果
r(A)=n，则|A|≠0
|A*|≠0
所以
A*可逆。r(A*)=n
2. r(A)=n-1时
|A|=0，所以AA*=O
r(A)+r(A*)<=n
r(A*)<=1
而r(A)=n-1，所以
A中必有一个n-1阶子式≠0
所以r(A*)>=1
所以
r(A*)=1
3. r(A)<n-1，所以A的所有n-1阶子式都等于0
所以
A*=O
即r(A*)=0

Answer 2

r(A) =n A可逆，A*亦可逆，所以R（A*）=n
r(A)<n-1 说明任何A的任何（n-1）阶代数余子式均为0，所以A*=0 r(A*)=0
r(A)=n-1 知道存在A的某个（n-1）阶代数余子式不为0，所以A*不为0,
所以r（A*）》=1
又AA*=0 所以r（A*）+r(A)<=n 所以r（A*）<=1 所以r（A*）=1