Question

已知函数f（x）=x|x 2 -3|，x∈[0，m]其中m∈R，且m＞0．（1）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数．（2）

已知函数f（x）=x|x 2 -3|，x∈[0，m]其中m∈R，且m＞0．（1）若m＜1，求证：函数f（x）是增函数．（2）如果函数f（x）的值域是[0，2]，试求m的取值范围．（3）若m≥1，试求函数f（x）的值域．

Answer 1

证明：（1）当m＜1时，f（x）=x（3-x 2 ）=3x-x 3 ． 因为f′（x）=3-3x 2 =3（1-x 2 ）＞0． 所以f（x）是增函数． （2）令g（x）=x|x 2 -3|，x≥0． 则g（x）= 3x- x 3 ，0≤x≤ 3 x 3 -3x，x＞ 3 ， 当 0＜x＜ 3 时，由g′（x）=3-3x 2 =0得x=1， 所以g（x）在[0，1]上是增函数，在[1， 3 ]上是减函数． 当 x＞ 3 时，g′（x）=3x 2 -3＞0，所以g（x）在[ 3 ，+∞）上是增函数． 所以当 x∈[0， 3 ] 时，函数g（x）的最大值是g（1）=2，最小值是g（0）=g（ 3 ）=0． 从而0＜m＜1不符合题意， 1≤m≤ 3 符合题意． 当m ＞ 3 时，在 x∈[0， 3 ) 时，f（x）∈[0，2]； 在 x∈[ 3 ，m] 时，f（x）∈[0，f（m）]． 这时f（x）的值域是[0，2]的充要条件是f（m）≤2， 即m 3 -3m≤2，（m-2）（m+1） 2 ≤0，解得 3 ＜m≤2 ． 综上所述，m的取值范围是[1，2]． （3）由（2）知，当1≤m≤2时，f（x）在[0，m]上的最大值为f（1）=2，最小值为f（0）=0， ∴f（x）在[0，m]上的值域为[0，2]． 当m＞2时，f（x）在[ 3 ，m]上单调递增， f(x ) max =f(m)= m 3 -3m ， ∴f（x）在[0，m]的值域为[0，m 3 -3m]．