Question

如图所示，已知在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过A的任一条直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E。（1）求证：

如图所示，已知在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过A的任一条直线AN，BD⊥AN于D，CE⊥AN于E。（1）求证：DE=BD+CE； （2）若将直线AN绕A点沿顺时针方向旋转，使它经过△ABC的内部，再作BD⊥AN于D，CE⊥AN于E，那么DE、DB、CE之间还存在等量关系吗？若存在，请证明你的结论。

Answer 1

证明：（1）∵BD⊥AN于D，CE ⊥AN于E， ∴∠ADB=∠AEC=90°， ∴∠ABD+∠DAB=90°， ∠CAE+∠DAB=90°， ∴∠ABD=∠CAE， 在△BAD与△ACE中， ∠ABD =∠CAE，∠ADB=∠AEC，AB=CA， ∴△BAD≌△ACE（AAS）， ∴BD=AE，CE=AD， ∴BD+CE=AE+AD， 即BD+CE=DE； （2） DE、DB、CE之间还存在等量关系，即BD-CE=DE，理由如下： ∵BD⊥AN于D，CE⊥AN于E， ∴∠ADB=∠AEC=90°， ∴∠ABD+∠DAB=90°， 又∵∠CAE+∠DAB=90°， ∴∠ABD=∠CAE， 在△BAD与△ACE中， ∠ABD=∠CAE，∠ADB=∠AEC，AB=CA， ∴△BAD≌△ACE（AAS） ， ∴BD=AE，CE=AD， ∴AE-AD= BD-CE， ∴DE=BD-CE。