Question

选修4-5：不等式选讲对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-2b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，试求实

选修4-5：不等式选讲对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|a-2b|≥|a|（|x-1|+|x-2|）恒成立，试求实数x的取值范围．

Answer 1

原式等价于 |a+b|+|a-2b| |a| ≥|x-1|+|x-2|，设 b a =t ， 则原式变为|t+1|+|2t-1|≥|x-1|+|x-2|，对任意t恒成立． 因为|t+1|+|2t-1|= 3t    (t≥ 1 2 ) -t+2   (-1＜t＜ 1 2 ) -3t  ，(t≤-1) ，最小值在 t= 1 2  时取到，为 3 2 ， 所以有 3 2 ≥|x-1|+|x-2|= 2x-3  (x≥2) 1  ，(1＜x＜2) 3-2x   (x≤1)   解得 x∈[ 3 4 ， 9 4 ]．