Question

函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x 2 ．若直

函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x 2 ．若直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点，则实数a的值为（　　） A．n（n∈Z） B．2n（n∈Z） C．2n或 2n- 1 4 （n∈Z） D．n或 n- 1 4 （n∈Z）

Answer 1

因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，于是f（x）=（-x） 2 =x 2 ． 设x∈[1，2]，则（x-2）∈[-1，0]．于是，f（x）=f（x-2）=（x-2） 2 ． ①当a=0时，联立 y=x y= x 2 ，解之得 x=0 y=0 或 x=1 y=1 ，即当a=0时，即直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点． ②当-2＜a＜0时，只有当直线y=x+a与函数f（x）=x 2 在区间[0，1）上相切，且与函数f（x）=（x-2） 2  在x∈[1，2）上仅有一个交点时才满足条件．由f ′ （x）=2x=1，解得x= 1 2 ， ∴y= ( 1 2 ) 2 = 1 4 ，故其切点为 ( 1 2 ， 1 4 ) ， ∴ a= 1 4 - 1 2 =- 1 4 ； 由 y=x- 1 4 y=(x-2 ) 2 （1≤x＜2）解之得 x= 5-2 2 2 y= 9-4 2 4 ． 综上①②可知：直线y=x+a与函数y=f（x）在区间[0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或 - 1 4 ． 又函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），实数a的值为2n或2n- 1 4 ，（n∈Z）． 故应选C．