Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8），sin∠CAB=45，E是线段AB

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8），sin∠CAB=45，E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE．（1）求AC和OA的长；（2）设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8），
∴OB=2，OC=8，
在Rt△AOC中，sin∠CAB=

OC

AC

=

4

5

，
∴

8

AC

＝

4

5

．
∴AC=10，
∴OA＝

AC2?OC2

＝

102?82

＝6．

（2）依题意，AE=m，则BE=8-m，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
∴

EF

AC

=

BE

AB

．即 

EF

10

=

8?m

8

，
∴EF=

40?5m

4

，
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

，
∴

FG

EF

=

4

5

，
∴FG=

4

5

×

40?5m

4

=8-m，
∴S=S_△BCE-S_△BFE=

1

2

(8?m)×8?

1

2

(8?m)(8?m)=-

1

2

m²+4m，
自变量m的取值范围是0＜m＜8．

（3）S存在最大值．
∵S=-

1

2

m²+4m=?

1

2

(m?4)2+8，且-

1

2

＜0，
∴当m=4时，S有最大值，S_最大值=8，
∵m=4，
∴点E的坐标为（-2，0），
∴△BCE为等腰三角形．