如图，已知矩形ABCD，AB=4，AD=3，O是AC上一点，CO=95，E，F分别是AB，CD的中点，现把矩形ABCD沿着对角线
如图，已知矩形ABCD，AB=4，AD=3，O是AC上一点，CO=95，E，F分别是AB，CD的中点，现把矩形ABCD沿着对角线AC折成一个大小为θ的二面角D′-AC-B...
如图，已知矩形ABCD，AB=4，AD=3，O是AC上一点，CO=95，E，F分别是AB，CD的中点，现把矩形ABCD沿着对角线AC折成一个大小为θ的二面角D′-AC-B．（Ⅰ）若θ=90°，求证BO⊥AD′；（Ⅱ）当θ=60°时，求直线EF与平面ABC所成的角的正弦值．
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（Ⅰ）证明：由已知条件得，AC=5，CO=
，
故BC2=CO?AC，
即△ABC∽△BOC，得BO⊥AC，BO?平面ABC，（3分）
θ=90°，即平面ABC⊥平面ADC，且交线为AC
∴BO⊥平面ACD，所以BO⊥AD．（6分）
（Ⅱ）解：作FG⊥AC，垂足为G，作EH⊥AC，垂足为H，
作EP∥GH，且使得EP=GH，
则四边形GHEP为矩形，连接EP．
则AC⊥PG，又AC⊥FG，
∴AC⊥平面GFP，且∠FGP为二面角D-AC-B的平面角，
即∠FGP=60°．（8分）
∴AC⊥FP，又EP∥AC，∴EP⊥FP，
在Rt△CGF中，可得GF=
，同理EH=
，
即GP=
，又∠FGP=60°，∴FP=
，即△GFP为正三角形，（10分）
又由AC⊥平面GFP得平面ABC⊥平面GFP，且交线为PG，作FQ⊥GP，
∴FQ⊥平面ABC，连接EQ，则∠FEQ为EF与平面ABC所成的角．（12分）
又EP=GH=AC-2CG=5-
=
，在Rt△EPF中，
EF=
=
=
，
sin∠FEQ=
=
=
| 9 |
| 5 |
故BC2=CO?AC，
即△ABC∽△BOC，得BO⊥AC，BO?平面ABC，（3分）
θ=90°，即平面ABC⊥平面ADC，且交线为AC
∴BO⊥平面ACD，所以BO⊥AD．（6分）
（Ⅱ）解：作FG⊥AC，垂足为G，作EH⊥AC，垂足为H，
作EP∥GH，且使得EP=GH，
则四边形GHEP为矩形，连接EP．
则AC⊥PG，又AC⊥FG，
∴AC⊥平面GFP，且∠FGP为二面角D-AC-B的平面角，
即∠FGP=60°．（8分）
∴AC⊥FP，又EP∥AC，∴EP⊥FP，
在Rt△CGF中，可得GF=
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
即GP=
| 6 |
| 5 |
| 6 |
| 5 |
又由AC⊥平面GFP得平面ABC⊥平面GFP，且交线为PG，作FQ⊥GP，
∴FQ⊥平面ABC，连接EQ，则∠FEQ为EF与平面ABC所成的角．（12分）
又EP=GH=AC-2CG=5-
| 16 |
| 5 |
| 9 |
| 5 |
EF=
| EP2+FP2 |
|
3
| ||
| 5 |
sin∠FEQ=
| FQ |
| EF |
| ||||
| EF |
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