如图,以Rt△ABC的边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D,点F为BC上一点,AF交⊙O于点E,且∠C=∠BAF.(1)求证
如图,以Rt△ABC的边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D,点F为BC上一点,AF交⊙O于点E,且∠C=∠BAF.(1)求证:DE∥AB;(2)若⊙O的半径为5,AE=2A...
如图,以Rt△ABC的边AB为直径的⊙O交斜边AC于点D,点F为BC上一点,AF交⊙O于点E,且∠C=∠BAF.(1)求证:DE∥AB;(2)若⊙O的半径为5,AE=2AD,求DE的长.
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(1)证明:如图1,连DB,
∵AB为直径,
∴DB⊥AC,
∵△ABC为直角三角形,
∴∠C=∠ABD=∠DEA,
又∵∠C=∠BAF,
∴∠BAF=∠DEA,
∴DE∥AB;
(2)解:连BE,
∵DE∥AB,
∴∠BAE=∠AED,
∴AD=BE,
在Rt△ABD与Rt△BAE中,
∵
,
∴Rt△ABD≌Rt△BAE(HL),
∴BD=AE=2AD,
设AD=x,则BD=2x,
在Rt△ABD中,x2+(2x)2=102,
∴AD=2
,BD=4
过D作DM⊥AB,过O作ON⊥ED,
∴
AD?BD=
AB?DM,
∴DM=
=
=4=ON,
连OD,在Rt△OND中,
∵DN=
∵AB为直径,
∴DB⊥AC,
∵△ABC为直角三角形,
∴∠C=∠ABD=∠DEA,
又∵∠C=∠BAF,
∴∠BAF=∠DEA,
∴DE∥AB;
(2)解:连BE,
∵DE∥AB,
∴∠BAE=∠AED,
∴AD=BE,
在Rt△ABD与Rt△BAE中,
∵
|
∴Rt△ABD≌Rt△BAE(HL),
∴BD=AE=2AD,
设AD=x,则BD=2x,
在Rt△ABD中,x2+(2x)2=102,
∴AD=2
5 |
5 |
过D作DM⊥AB,过O作ON⊥ED,
∴
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2 |
1 |
2 |
∴DM=
AD?BD |
AB |
2
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连OD,在Rt△OND中,
∵DN=