Question

yy″+y′2=0满足初始条件y（0）=1，y′（0）=12的特解是______

yy″+y′2=0满足初始条件y（0）=1，y′（0）=12的特解是______．

Answer 1

令y′=P（y）（以y为自变量），则y″=dy′/dx=dP/dx=P·（dP/dy）。

代入方程得yP·（dP/dy）+P²=0，即y·（dP/dy）+P=0（或P=0，但其不满足初始条件y′|_x=0=1/2）。

分离变量得dP/P+dy/y=0，

积分得ln|P|+ln|y|=C″，即P=C1/y（P=0对应C1=0）

由x=0时y=1，P=y′=1/2，得C1=1/2，于是y′=P=1/2y，2ydy=dx，积分得y2=x+C2。

又由y|x=0=1得C2=1，所求特解为y=根号（x+1）。

扩展资料：

齐次方程的特点及解法：

1、特点：方程中每一项的次方相同，且都可以化为一般形式dy/dx=f（y/x）。

2、解法：令u=y/x，即y=xu，则dy/dx=u+x·（du/dx），于是原方程可化为x+x·（du/dx）=f（u），即du/f（u）-u=dx/x，成为可分离变量的微分方程，求解后再用y/x代替u即得原方程的解。

参考资料来源：百度百科-齐次方程

Answer 2

令y'=P（y）（以y为自变量），则y″=

dy′

dx

=

dP

dx

=P

dP

dy

．
代入方程得yP

dP

dy

+P2=0，即y

dP

dy

+P=0（或P=0，但其不满足初始条件y′|_x=0=

1

2

）．
分离变量得

dP

P

+

dy

y

=0，
积分得ln|P|+ln|y|=C'，即P=

C1

y

（P=0对应C₁=0）
由x=0时y=1，P=y′=

1

2

，得C1=

1

2

．于是y′=P=

1

2y

，2ydy=dx，积分得y²=x+C₂．
又由y|_x=0=1得C₂=1，所求特解为y=

x+1

．