Question

假设随机变量X服从参数为2的指数分布．证明：Y=1-e-2X在区间（0，1）上服从均匀分布

假设随机变量X服从参数为2的指数分布．证明：Y=1-e-2X在区间（0，1）上服从均匀分布．

Answer 1

证明：
设X的分布函数为F（X），Y的分布函数为G（Y），
∵X服从参数为2的指数分布，
∴X的分布函数为F(x)＝

1?e?2x ，x＞0 0 ，x≤0

，
又y=1-e^-2x在（0，1）是单调递增的函数，即0＜y＜1，且其反函数为：x＝?

1

2

ln(1?y)，
于是，Y=1-e^-2X在（0，1）的分布函数为：
G（Y）=P（Y≤y）=P（1-e^-2x≤y）=P(x≤?

1

2

ln(1?y))
=

0 ，y≤0 1?e(?2)[? 1 2 ln(1?y)] 0＜y＜1 1 y≥1

=

0 y≤1 y ，0＜y＜1 1 ，y≥1

这正是（0，1）区间上的均匀分布．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

备注