Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F，求证：EB?DF=AE?BD

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F，求证：EB?DF=AE?BD．

Answer 1

证明：∵CF⊥BE，
∴∠BFC=90°，
又∵∠BCE=90°，∠CBF=∠EBC，
∴△BFC∽△BCE
∴

BC

BE

=

BF

BC

，即BC²=BE×BF，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴BC²=BD×BA，
∴BE×BF=BD×BA
∴

BE

BD

=

BA

BF

，
又∵∠DBF=∠EBA
∴△BFD∽△BAE，
∴

EB

AE

=

BD

DF

，即EB?DF=AE?BD．