Question

已知函数f（x）=(a+1)x2+1bx，且f（1）=3，f （2）=92．（1）求a，b的值，写出f（x）的表达式；（2）判断

已知函数f（x）=(a+1)x2+1bx，且f（1）=3，f （2）=92．（1）求a，b的值，写出f（x）的表达式；（2）判断f（x）在区间[1，+∞）上的增减性，并加以证明．

Answer 1

（1）由

f(1)=3 f(2)= 9 2

?

(a+1)+1 b =3 4(a+1)+1 2b = 9 2

（3分）
?

a=1 b=1

（6分）
则f（x）=

2x2+1

x

（2）证明：任设l≤x₁＜x₂（7分）
f（x）-f（x₂）=

2x2+1

x1

-

2 x 2 2 +1

x2

=（x₁-x₂）?

2x1x2-1

x1?x2

（9分）
∵x₁＜x₂∴x₁＜x₂＜0（10分）
又∵x₁≥1，x₂≥1
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂≥1，2x₁x₂≥2≥1，即，2x₁x₂-1＞0（11分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即，f（x₁）＜f（x₂）?
故f（x）=

2x2+1

x

在[1，+∞）上单调增函数（12分）