Question

数学必修一

已知函数f（x）=2^-1/2^x
1若f（x）=2+2/2^x，求x的值
2若2^t f（2t）+mf（t）≥0，对于任意实数t∈｛1，2｝恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

1)∵f（x）=2^x-1/2^x=2+2/2^x
∵2^x≠0∴等式左右同乘2^x
得2^2x-1=2·2^x+2
令2^x=t (t＞0)
即t²-1=2t+2
t²-2t-3=0
(t-3)(t+1)=0
t=-1或t=3
∵t＞0
∴2^x=t=3
x=log₂3

2)2) 要使 (2^t)f(2t) + mf(t) ≥0 (t∈[1,2],2t>0,t>0,绝对值可去掉)

也即 (2^t)[ 2^2t - 1/(2^2t) ] + m [2^t - 1/(2^t)] ≥0

设 k = 2^t ( k∈[2,4] )

则可变为 k[ k^2 - 1/(k^2) ] + m [ k- 1/k ] ≥0

得 k[ k + 1/k ] [ k- 1/k ] + m [ k- 1/k ] ≥0

得 [ k- 1/k ][ k^2 + 1 + m ] ≥0

因为 k∈[2,4] 所以 [ k- 1/k ] > 0 ，现在只要保证 [ k^2 + 1 + m ] ≥0 则可

解这个不等式得 m ≥ - 5 ， 当 m ≥ - 5 时 [ k^2 + 1 + m ] ≥0

也即 m ≥ - 5