Question

两道高中数学题！

1：设向量a=（sinx,cosx），b=（cosx,cosx），x为实数，函数f（x）=a*（a-b）
（1）求函数f（x）的最小正周期
（2）当x在[-兀/4，兀/4]时，求f（x）的值域
（3）求使不等式f（x）≥1成立的x的取值范围
2：设f（x）=ax^3+bx+c（a不等于0）为奇函数，其图像在点（1，f（1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f'（x）的最小值为-12
（1）求函数f（x）的解析式
（2）求函数f（x）的单调区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值

在线等阿谢谢各位高手！

Answer 1

1：设向量a=（sinx,cosx），b=（cosx,cosx），x为实数，函数f（x）=a*（a-b）
（1）求函数f（x）的最小正周期
（2）当x在[-兀/4，兀/4]时，求f（x）的值域
（3）求使不等式f（x）≥1成立的x的取值范围
（1）∵向量a＝（sinx，cosx），向量b＝（cosx，sinx）。
∴向量a－向量b＝（sinx－cosx，cosx－sinx）。
∴f（x）＝sinx（sinx－cosx）＋cosx（cosx－sinx）
＝（sinx）^2－sinxcosx＋（cosx）^2－sinxcosx＝1－2sinxcosx＝1－sin2x。
∴f（x）的最小正周期为π。

（2）∵x∈［－π/4，π/4］，　∴2x∈［－π/2，π/2］，　∴sin2x在此区间为增函数，
而sin（－π/2）＝－1，　sin（π/2）＝1，　∴－1≦sin2x≦1，　∴－1≦－sin2x≦1，
∴0≦1－sin2x≦2。
∴当x∈［－π/4，π/4］时，f（x）的值域是［0，2］。

（3）由f（x）≧1，得：1－sin2x≧1，　∴sin2x≦0，　∴2kπ＋π≦2x≦2（k＋1）π，
∴kπ＋π/2≦x≦kπ＋π。
∴使f（x）≧1成立的x的取值范围是x∈［kπ＋π/2，kπ＋π］。　（其中k是整数）

2：设f（x）=ax^3+bx+c（a不等于0）为奇函数，其图像在点（1，f（1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f'（x）的最小值为-12
（1）求函数f（x）的解析式
（2）求函数f（x）的单调区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值
（1）因为f是奇函数
所以f(0)=0 带入得到c=0
所以f(x)=ax^3+bx
对f求导得到f'=3ax^2+b
在x=1 的斜率是:f'(1)=3a+b
因为在点(1,f(1))的切线和 6x+y+7=0 平行,那么 3a+b=-6
因为有f'有最小值,所以二次函数f'开口向上,a>0
且最小值为f'(0)=b=-12

所以a=(-6-b)/3=2
所以f (x)=2x^3-12x

（2）f'=6x^2-12 ,令f'=0得到x=正负根号2
当x<负根号2, f'>0,f单调递增
当负根号2<x<正根号2 ,f'<0 ,f单调递减
当x>正根号2,f'>0.f单调递增

在区间[-1,3] 有个极小值 f(根号2)=4根号2-12根号2=-8根号2
而f(-1)=-2+12=10
f(3)=2*27-12*3=18
所以最大值为18 ,最小值为-8根号2

Answer 2

1：设向量a=（sinx,cosx），b=（cosx,cosx），x为实数，函数f（x）=a*（a-b）
（1）求函数f（x）的最小正周期
（2）当x在[-兀/4，兀/4]时，求f（x）的值域
（3）求使不等式f（x）≥1成立的x的取值范围
（1）∵向量a＝（sinx，cosx），向量b＝（cosx，sinx）。
∴向量a－向量b＝（sinx－cosx，cosx－sinx）。
∴f（x）＝sinx（sinx－cosx）＋cosx（cosx－sinx）
＝（sinx）^2－sinxcosx＋（cosx）^2－sinxcosx＝1－2sinxcosx＝1－sin2x。
∴f（x）的最小正周期为π。

（2）∵x∈［－π/4，π/4］，　∴2x∈［－π/2，π/2］，　∴sin2x在此区间为增函数，
而sin（－π/2）＝－1，　sin（π/2）＝1，　∴－1≦sin2x≦1，　∴－1≦－sin2x≦1，
∴0≦1－sin2x≦2。
∴当x∈［－π/4，π/4］时，f（x）的值域是［0，2］。

（3）由f（x）≧1，得：1－sin2x≧1，　∴sin2x≦0，　∴2kπ＋π≦2x≦2（k＋1）π，
∴kπ＋π/2≦x≦kπ＋π。
∴使f（x）≧1成立的x的取值范围是x∈［kπ＋π/2，kπ＋π］。　（其中k是整数）

2：设f（x）=ax^3+bx+c（a不等于0）为奇函数，其图像在点（1，f（1））处的切线与直线x-6y-7=0垂直，导函数f'（x）的最小值为-12
（1）求函数f（x）的解析式
（2）求函数f（x）的单调区间，并求函数f（x）在[-1，3]上的最大值和最小值
（1）因为f是奇函数
所以f(0)=0 带入得到c=0
所以f(x)=ax^3+bx
对f求导得到f'=3ax^2+b
在x=1 的斜率是:f'(1)=3a+b
因为在点(1,f(1))的切线和 6x+y+7=0 平行,那么 3a+b=-6
因为有f'有最小值,所以二次函数f'开口向上,a>0
且最小值为f'(0)=b=-12

所以a=(-6-b)/3=2
所以f (x)=2x^3-12x

（2）f'=6x^2-12 ,令f'=0得到x=正负根号2
当x<负根号2, f'>0,f单调递增
当负根号2<x<正根号2 ,f'<0 ,f单调递减
当x>正根号2,f'>0.f单调递增

在区间[-1,3] 有个极小值 f(根号2)=4根号2-12根号2=-8根号2
而f(-1)=-2+12=10
f(3)=2*27-12*3=18
所以最大值为18 ,最小值为-8根号2
没错，我就是老师，这个对了，思路清晰明了，很优秀的学生才会进行思考，我相信，你肯定不差，加油吧！祝你们期末可以考一个好成绩

Answer 3

一些角的转化忘了，向量常规运算,结合三角函数，一般都能化成一个二元一次方程或一个三角函数，仔细运算，过程不错的话，都能求出来

Answer 4

唉，有高手