Question

如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0＜m＜3，连接OA，OB，OA⊥OB。

如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A（m，6），B（n，1）为两动点，其中0＜m＜3，连接OA，OB，OA⊥OB。 （1）求证：mn=-6；（2）当S △AOB =10时，抛物线经过A，B两点且以y轴为对称轴，求抛物线对应的二次函数的关系式；（3）在（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P，Q两点，问是否存在直线l，使S △POF ：S △QOF =1：3？若存在，求出直线l对应的函数关系式；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）作BC⊥x轴于C点，AD⊥x轴于D点， ∵A，B点坐标分别为（m，6），（n，1）， ∴BC=1，OC=-n，OD=m，AD=6， 又OA⊥OB，易证△CBO∽△DOA， ∴ ∴ ∴mn=-6。 （2）由（1）得OA=mBO 又∵S △AOB =10 ∴ 即 ∴ 又 ∴ ∵mn=-6， ∴m=2，n=-3， ∴A坐标为（2，6），B坐标为（-3，1）， 易得抛物线解析式为y=-x 2 +10。 （3）解：直AB为y=x+4，且与y轴交于F（0，4）点， ∴OF=4， 假设存在直线l交抛物线于P，Q两点，且使S △POF ：S △QOF =1：3，如图所示， 则有PF：FQ=1：3，作PM⊥y轴于M点，QN⊥y轴于N点， ∵P在抛物线y=-x 2 +10上，∴设P坐标为（x，-x 2 +10）， 则FM=OM-OF=（-x 2 +10）-4=-x 2 +6，易证△PMF∽△QNF， ∴ ∴ ∴ ∴Q点坐标为（-3x，3x 2 -14）， ∵Q点在抛物线y=-x 2 +10上， ∴3x 2 -14=-9x 2 +10 解得 ∴P坐标为 Q坐标为 ∴易得直线 为 根据抛物线的对称性可得直线 另解为 。