Question

对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]?D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数

对于定义域为D的函数f（x），若存在区间M=[a，b]?D（a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=M，则称区间M为函数f（x）的“等值区间”．给出下列四个函数：①f（x）=2 x ；②f（x）=x 3 ；③f（x）=sinx；④f（x）=log 2 x+1．则存在“等值区间”的函数的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

Answer 1

①对于函数f（x）=2 x ，若存在“等值区间”[a，b]，由于函数是定义域内的增函数，故有2 a =a，2 b =b， 即方程2 x =x有两个解，即y=2 x 和y=x的图象有两个交点，这与y=2 x 和y=x的图象没有公共点相矛盾，故①不存在 “等值区间”． ②对于函数f（x）=x 3 存在“等值区间”，如 x∈[0，1]时，f（x）=x 3 ∈[0，1]． ③对于函数f（x）=sinx，若正弦函数存在等值区间[a，b]，则在区间[a，b]上有sina=a，sinb=b，由正弦函数的值域知道[a，b]?[-1，1]，但在区间]?[-1，1]上仅有sin0=0，所以函数f（x）=sinx没有“等值区间”； ④对于 f（x）=log 2 x+1，由于函数是定义域内的增函数，故在区间[1，2]上有f（1）=1，f（2）=2，所以函数存在“等值区间”[1，2]． 故选B