Question

（13分）已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点

（13分）已知在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点。（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的正切值；（Ⅲ）求二面角P一EC一D的正切值。

Answer 1

解：（Ⅰ）取PC的中点O，连结OF、 OE．∴FO∥DC，且FO= DC ∴FO∥AE 又E是AB的中点．且AB=DC．∴FO=AE． ∴四边形AEOF是平行四边形．∴AF∥OE 又OE 平面PEC，AF 平面PEC ∴AF∥平面PEC （Ⅱ）连结AC ∵PA⊥平面ABCD，∴∠PCA是直线PC与平 面ABCD所成的角 在Rt△PAC中， 即直线PC与平面ABCD所成的角正切为 （Ⅲ）作AM⊥CE，交C E的延长线于M．连结PM，由三垂线定理．得PM⊥CE∴∠PMA是二面角P—EC—D的平面角  由△AME∽△CBE，可得 ，∴ ∴二面角P一EC一D的正切为

略