Question

记数列{an}的前n项和为Sn．若a1=1，Sn=2（a1+an）（n≥2，n∈N*），则Sn=______

记数列{an}的前n项和为Sn．若a1=1，Sn=2（a1+an）（n≥2，n∈N*），则Sn=______．

Answer 1

∵S_n=2（a₁+a_n），（n≥2，n∈N^*），
∴S_n-1=2（a₁+a_n-1），（n≥3，n∈N^*），
∴a_n=S_n-S_n-1=2（a_n-a_n-1），
∴a_n=2a_n-1，（n≥3）
∵S_n=2（a₁+a_n）（n≥2，n∈N^*），
∴1+a₂=2（1+a₂），解得a₂=-1，
∴a_n=

1，n＝1 ?1×2n?2，n≥2

，
∴S_n=1-（1+2+4+…+2^n-2）
=1-

1?2n?1

1?2

=2-2^n-1．
故答案为：2-2^n-1．