Question

已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0，3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点． 急急急急~在线等。

（1）求此抛物线的解析式。
（2）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A′求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．

Answer 1

(1)将B（1，0），C（5，0），A（0，3）分别带入抛物线y=ax²+bx+c
得a=3/5，b=-18/5，c=3,所以抛物线的解析式为y=3/5x²-18/5x+3
（2）根据题意得：OA的三等分点风别为（0，1），（0，2）
设直线CD的解析式为y=kx+b(k≠0）
当D为（0，1）时，CD的解析式为y=-1/5x+1
当D为（0，2）时，CD的解析式为y=-2/5x+2
如图，由题意，可得M(0, ).
　　点M关于x轴的对称点为M′(0,- )，
　　点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A′(6,3).
　　连接A′M′.
　　根据轴对称性及两点间线段最短可知，A′M′的长就是所求点P运动的最短总路径的长. 　　　所以A′M′与x轴的交点为所求E点，与直线x=3的交点为所求F点.
　　可求得直线A′M′的解析式为 .
　　可得E点坐标为(2,0)，F点坐标为(3,3/4 ). 　　　　由勾股定理可求出A′M′= .15/2
　　所以点P运动的最短路径(ME+EF+FA)的长为15/2 .

追问

亲~你有木有看题哇。

追答

补一下A'M'的解析式是y=3/4x-3/2

追问

由题意，可得M(0, ).
　　点M关于x轴的对称点为M′(0,- )，？？？？

追答

M'(0,-3/2)